Question

13．已知命题p：函数f（x）=|2x+3c|在[-1，+∞）上单调递增；命题q：函数g（x）=$\frac{cx}{{x}^{2}+1}$+2有零点
（Ⅰ）若命题p和q均为真命题，求实数c的取值范围
（Ⅱ）是否存在实数c，使得p∧（￢q）是真命题？若存在，求出c的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先写出f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x+3c}&{x≥-\frac{3c}{2}}\\{-2x-3c}&{x＜-\frac{3c}{2}}\end{array}\right.$，根据f（x）在[-1，+∞）上单调递增即可得出c$≥\frac{2}{3}$；而g（x）=0成立，从而得到$c=-x-\frac{2}{x}$，这样即可求得c的范围，求得的两个c的范围求交集即可得出实数c的取值范围；
（Ⅱ）由条件知，p真q假，根据上面求得的p，q为真时的c的范围，便能求出p真q假时的c的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）①若命题p为真：$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2x+3c}&{x≥-\frac{3c}{2}}\\{-2x-3c}&{x＜-\frac{3c}{2}}\end{array}\right.$；
f（x）在[-1，+∞）上单调递增；
∴$-\frac{3c}{2}≤-1$；
∴$c≥\frac{2}{3}$；
②若命题q为真：g（x）有零点；
令$\frac{cx}{{x}^{2}+1}+2=0$，则c=$-x-\frac{2}{x}$；
x＞0时，$c=-x-\frac{1}{x}=-（x+\frac{1}{x}）≤-2$，x＜0时，$c=-x-\frac{1}{x}=（-x）+\frac{1}{-x}≥2$；
∴c≤-2，或c≥2；
∴综上得c≥2；
∴实数c的取值范围为[2，+∞）；
（Ⅱ）若p∧（￢q）为真命题，则p真，q假；
∴$\left\{\begin{array}{l}{c≥\frac{2}{3}}\\{-2＜c＜2}\end{array}\right.$；
∴$\frac{2}{3}≤c＜2$；
即存在实数c使得p∧（￢q）是真命题，且c的取值范围为：$[\frac{2}{3}，2）$．

点评 考查真假命题的定义，绝对值函数的判断方法：去绝对值号，一次函数的单调性，以及基本不等式，函数零点的定义，p∧q，￢q的真假和p，q的真假的关系．