Question

如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高为3，底面是边长为4的菱形，且∠DAB=60°，AC∩BD=O，A₁C₁∩B₁D₁=O₁，
（1）求证：平面O₁AC⊥平面O₁BD；
（2）求二面角O₁-BC-D的大小．

Answer 1

分析：（1）证明平面O₁AC⊥平面O₁BD． 只需要证明面O₁BD中的一条直线垂直于平面O₁AC，即证BD⊥面O₁AC；  
（2）用立体几何法，作出它的平面角，过O作OH⊥BC于H，连接O₁H，则∠O₁HO为二面角O₁-BC-D的平面角，再求之

解答：（1）证明：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是直四棱柱，
∴AA₁⊥面AC，
又BD?面AC，所以AA₁⊥BD．                （2分）
又∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD
∵AA₁∩AC=A
所以BD⊥面AA₁C．                                          （4分）
即BD⊥面O₁AC，又BD?面O₁BD，
所以平面O₁AC⊥平面O₁BD．                                   （6分）
（2）解：过O作OH⊥BC于H，连接O₁H，则∠O₁HO为二面角O₁-BC-D的平面角．       （8分）
在Rt△BHO中，OB=2，∠OBH=60°，∴OH=

3

．              （10分）
又O₁O∥A₁A，∴O₁O⊥OH．
∴tan∠O1OH=

O1O

OH

=

3

⇒∠O1HO=

π

3

．
故二面角O₁-BC-D的大小为

π

3

．                           （12分）
（注：向量解法，酌情给分）

点评：本题以直四棱柱为载体，考查面面垂直，考查面面角，解题的关键是利用面面垂直的判定，正确作出面面角．