【题目】已知函数,其中.
(1)若,求曲线在处的切线方程;
(2)设函数若至少存在一个,使得成立,求实数a的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)求导后代入求得在处的切线斜率,再利用点斜式求得切线方程即可.
(2)求导后分与时,分析单调性再根据函数性质的最值满足的条件列式求不等式即可.
(1)当时,,
∴,即切线斜率为2,故由点斜式方程可得切线方程为,即
(2)原问题等价于至少存在一个,使得成立,
令,则,
①当时,,则函数h(x)在[1,e]上单调递减,故h(x)min=h(e)=﹣2<0,符合题意;
②当时,令,,解得,则函数h(x)在上单调递减,令,解得,则函数h(x)在单调递增,
且,,
1.当,即时,在上,单调递增,
此时不符合题意
2.当,即时, 在上,单调递减,
此时满足题意
3.当,即时,,不满足题意
综上,实数a的取值范围为.
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【题目】某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶,经过小时与轮船相遇。
(1)若小时,小艇与轮船恰好相遇,求小艇速度的大小和方向;(角度精确到);
(2)为保证小艇在90分钟内(含90分钟)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值。
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【题目】如图,已知点是轴左侧(不含轴)一点,抛物线上存在不同的两点、,满足、的中点均在抛物线上.
(1)求抛物线的焦点到准线的距离;
(2)设中点为,且,,证明:;
(3)若是曲线()上的动点,求面积的最小值.
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【题目】已知曲线的方程为,过原点作斜率为的直线和曲线相交,另一个交点记为,过作斜率为的直线和曲线相交,另一个交点记为,过作斜率为的直线和曲线相交,另一个交点记为,……,如此下去,一般地,过作斜率为的直线和曲线相交,另一个交点记为,设点.
(1)指出,并求与的关系式;
(2)求的通项公式,并指出点列,,……,,……向哪一点无限接近?说明理由;
(3)令,数列的前项和为,设,求所有可能的乘积的和.
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【题目】定义运算“”:对于任意,(等式的右边是通常的加减乘运算).若数列的前n项和为,且对任意都成立.
(1)求的值,并推导出用表示的解析式;
(2)若,令,证明数列是等差数列;
(3)若,令,数列满足,求正实数b的取值范围.
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【题目】是定义在区间上且同时满足如下条件的函数所组成的集合:
①对任意的,都有;
②存在常数,使得对任意的,都有
(1)设,试判断是否属于集合;
(2)若,如果存在,使得,求证:满足条件的是唯一的;
(3)设,且,试求参数的取值范围
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