Question

2．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长是3，线段MN的长是2，M在DD₁上运动，N在平面ABCD上运动，则M，N的中点P形成的曲面与ABCD面，DCC₁D₁面，ADD₁A₁面所围成的几何体的体积是（　　）

• A． $\frac{4}{3}π$
• B． $\frac{2}{3}π$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 根据题意，连接N点与D点，得到一个直角三角形△NMD，P为斜边MN的中点，所以|PD|的长度不变，进而得到点P的轨迹是球面的一部分，然后利用球的体积公式进行求解．

解答 解：如图可得，端点N在正方形ABCD内运动，连接N点与D点，由ND，DM，MN构成一个直角三角形，
设P为MN的中点，根据直角三角形斜边上的中线长度为斜边的一半可得DP=$\frac{1}{2}$MN=1，
不论△MDN如何变化，P点到D点的距离始终等于1．
∴MN的中点P的轨迹是
不论△MDN如何变化，P点到D点的距离始终等于1．
故P点的轨迹是一个以D为中心，半径为1的球的$\frac{1}{8}$球面积．
体积为$\frac{1}{8}×\frac{4}{3}π×{1}^{3}$=$\frac{π}{6}$．
故选：D．

点评 本题主要考查点的轨迹方程的判断，考查球的体积公式，综合性较强．