Question

已知圆C以（3，-1）为圆心，5为半径，过点S（0，4）作直线l与圆C交于不同两点A，B．
（Ⅰ）若AB=8，求直线l的方程；
（Ⅱ）当直线l的斜率为-2时，过直线l上一点P，作圆C的切线PT（T为切点）使PS=PT，求点P的坐标；
（Ⅲ）设AB的中点为N，试在平面上找一点M，使MN的长为定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当斜率不存在时，x=0符合条件； 当斜率存在时，设出直线的方程，再由圆心距的平方与弦长一半的平方等于半径的平方求得圆心距，最后由点到直线的距离公式求得l的方程．
（Ⅱ）当l斜率为-2时，直线l方程为y=-2x+4，有x²+（y-4）²=（x-3）²+（y+1）²-25，从而得到点P的坐标．
（Ⅲ）由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得．

解答：解：（Ⅰ）圆心C坐标（3，-1），半径r=5，
由条件可知：圆心C到直线l的距离为3．（3分）
当斜率不存在时，x=0符合条件； （4分）
当直线l斜率存在时，设其为k，
则

|3k+5|

k2+1

=3⇒k=-

8

15

，
则直线l的方程为8x+15y-60=0．
综上，直线l方程是8x+15y-60=0或x=0；（6分）
（Ⅱ）知直线l方程为y=-2x+4，设点P（a，4-2a），
则由PC²-r²=PS²得：a²+4a²=（a-3）²+（5-2a）²-25，
⇒a=

9

26

，
所求点P为(

9

26

，

43

13

)；（10分）
（Ⅲ）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半有：
定点M的坐标为 (

3

2

，

3

2

)．（16分）

点评：本题主要考查直线与圆的方程的应用，主要涉及了垂径定理，切线的性质及直角三角形的性质．当直线与圆相交时，常常过圆心作弦的垂线，根据弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．