Question

过抛物线y=2px（p＞0）焦点的一条直线和此抛物线相交，两个人交点的分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），试求x₁•x₂的值和y₁•y₂的值．

Answer 1

分析：(1)当直线斜率不存在时，直线方程为x=

p

2

，由

x= p 2 y2=2px

得到交点坐标，从而得到x₁•x₂的值和y₁•y₂的值．
(2)当直线斜率存在时，设直线方程为y=k(x-

p

2

)，由

y=k(x- p 2 ) y2=2px

得y2-

2p

k

y-p2=0．由此能够得到y₁•y₂的值和x₁•x₂的值．

解答：解：(1)当直线斜率不存在时，直线方程为x=

p

2

，由

x= p 2 y2=2px

得两交点的坐标(

p

2

，±p)，所以x1•x2=

p2

4

，y1•y2=-p2．(2)当直线斜率存在时，设直线方程为y=k(x-

p

2

)，
由

y=k(x- p 2 ) y2=2px

得y2-

2p

k

y-p2=0，
∴y₁•y₂=-p²，x₁•x₂=

y12

2p

•

y22

2p

=

p2

4

．
综上可知，x1x2=

p2

4

，y1y2=-p2．

点评：本题考查直线和抛物线的位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意抛物线性质的灵活运用．