【题目】已知函数f(x)=3x2﹣2ax﹣b,其中a,b是实数.
(1)若不等式f(x)≤0的解集是[0,6],求ab的值;
(2)若b=3a,对任意x∈R,都有f(x)≥0,且存在实数x,使得f(x)≤2﹣ a,求实数a的取值范围;
(3)若方程有一个根是1,且a,b>0,求 的最小值,及此时a,b的值.
【答案】
(1)解:依题意,0+6= ,0×6= ,解得a=9,b=0,∴ab=1
(2)解:若b=3a,则f(x)=3x2﹣2ax﹣3a.
依题意, ,由①得,﹣9≤a≤0,
由②得,a≥0或a≤﹣6,
所以,﹣9≤a≤﹣6或a=0为所求
(3)解:∵方程有一个根是1,且a、b>0,∴3﹣2a﹣b=0,即2a+b=3,
∵2a+b=3可得(2a+1)(b+2)=6,
设u=2a+1,v=b+2,可得u,v>0,u+v=6,
= = ≥ ,
当且仅当u=v=3,即a=b=1时取等号
【解析】(1)利用不等式的解集,转化为方程的根,求解即可.(2)利用二次函数的性质,列出不等式组求解即可.(3)利用基本不等式转化求解函数的最值的即可.
【考点精析】掌握函数的最值及其几何意义是解答本题的根本,需要知道利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;利用图象求函数的最大(小)值;利用函数单调性的判断函数的最大(小)值.
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【题目】已知an=logn+1(n+2)(n∈N+),观察下列运算:a1a2=log23log34= =2;a1a2a3a4a5a6=log23log34…log67lg78= =3;….定义使a1a2a3…ak为整数的k(k∈N+)叫做希望数,则在区间[1,2016]内所有希望数的和为( )
A.1004
B.2026
C.4072
D.22016﹣2
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程.
在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程是.
(1)写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)已知点.若点的极坐标为,直线经过点且与曲线相交于两点,设线段的中点为,求的值.
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【题目】如图是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图,已知O′B′=4,且△ABO的面积为16,过A′作A′C′⊥x′轴,则A′C′的长为( )
A.
B.
C.
D.1
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【题目】如图,焦点在x轴上的椭圆 =1(a>0)的左、右焦点分别为F1、F2 , P是椭圆上位于第一象限内的一点,且直线F2P与y轴的正半轴交于A点,△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q,若|F1Q|=4,则该椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】在直角坐标系中,已知中心在原点,离心率为的椭圆的一个焦点为圆: 的圆心.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设是椭圆上一点,过作两条斜率之积为的直线, ,当直线, 都与圆相切时,求的坐标.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xoy中,已知F1 , F2分别是椭圆E: 的左、右焦点,A,B分别是椭圆E的左、右顶点,且 .
(1)求椭圆E的离心率;
(2)已知点D(1,0)为线段OF2的中点,M 为椭圆E上的动点(异于点A、B),连接MF1并延长交椭圆E于点N,连接MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q,连接PQ,设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k1、k2 , 试问是否存在常数λ,使得k1+λk2=0恒成立?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.
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【题目】【2017湖南长沙二模】已知椭圆()的离心率为,分别是它的左、右焦点,且存在直线,使关于的对称点恰好是圆()的一条直线的两个端点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与抛物线()相交于两点,射线,与椭圆分别相交于点,试探究:是否存在数集,当且仅当时,总存在,使点在以线段为直径的圆内?若存在,求出数集;若不存在,请说明理由.
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