Question

【题目】已知函数f（x）=xlnx+ax（a∈R）．
（Ⅰ）当a=0，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+lnx在区间[1，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）过点P（1，﹣3）恰好能作函数y=f（x）图象的两条切线，并且两切线的倾斜角互补，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（I）f（x）的定义域为（0，+∞） ，
当x∈（0，+∞）时，f'（x），f（x）的变化的情况如下：

x
f'（x）	﹣	0	+
f（x）		极小值

∴f（x）的最小值是f（ ）=﹣ ．
（Ⅱ）由题意得：
∵函数g（x）在区间[1，+∞）上为增函数，
∴当x∈[1，+∞）时g'（x）≥0，即 在[1，+∞）上恒成立，
∴ ，
∴ ，
∴ 在[1，+∞）上递增，
∴﹣（a+1）≤h（1）=1，
∴a≥﹣2
（Ⅲ）设两切点A（x1 ， f（x1）），B（x2 ， f（x2）），f'（x）=lnx+1+a
则函数y=f（x）在A，B处的切线方程分别为y=（lnx1+1+a）（x﹣x1）+x1lnx1+ax1=（lnx1+1+a）x﹣x1 ，
∴y=（lnx2+1+a）（x﹣x2）+x2lnx2+ax2=（lnx2+1+a）x﹣x2
且lnx1+1+a+lnx2+1+a=0
即 也即
即x1 ， x2是方程t2﹣6t+e﹣2（a+1）=0的两个正根，
∴△=36﹣4e﹣2（a+1）＞0，
∴a＞﹣1﹣ln3
【解析】（Ⅰ）求导函数，确定函数的单调性，即可求f（x）的最小值；（Ⅱ）函数g（x）在区间[1，+∞）上为增函数，可得当x∈[1，+∞）时g'（x）≥0，即 在[1，+∞）上恒成立，求出左边的最小值，即可求实数a的取值范围；（Ⅲ）求出函数y=f（x）在A，B处的切线方程，利用过点P（1，﹣3），两切线的倾斜角互补，建立方程组，即可求实数a的取值范围．