Question

（2012•韶关一模）设抛物线C的方程为x²=4y，M（x₀，y₀）为直线l：y=-m（m＞0）上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B．
（1）当M的坐标为（0，-1）时，求过M，A，B三点的圆的方程，并判断直线l与此圆的位置关系；
（2）求证：直线AB恒过定点（0，m）．

Answer 1

分析：（1）设过M点的切线方程，代入x²=4y，整理得x²-4kx+4=0，令△=0，可得A，B的坐标，利用M到AB的中点（0，1）的距离为2，可得过M，A，B三点的圆的方程，从而可判断圆与直线l：y=-1相切；
（2）证法一：设切点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），过抛物线上点A（x₁，y₁）的切线方程为(y-

y

1

)=k(x-x1)，代入x²=4y，消元，利用△=0，即可确定k=

x1

2

，利用切线过点M（x₀，y₀），所以可得y0=

x1

2

x0-y1，同理可得y0=

x2

2

x0-

x 2 2

4

，由此可得直线AB的方程，从而可得结论；
证法二：设过M（x₀，y₀）的抛物线的切线方程为y-

y

0

=k(x-x0)（k≠0），代入x²=4y，消去y，利用韦达定理，确定直线AB的方程，从而可得结论；
证法三：利用导数法，确定切线的斜率，得切线方程，由此可得直线AB的方程，从而可得结论．

解答：（1）解：当M的坐标为（0，-1）时，设过M点的切线方程为y=kx-1，代入x²=4y，整理得x²-4kx+4=0，
令△=（4k）²-4×4=0，解得k=±1，
代入方程得x=±2，故得A（2，1），B（-2，1），…（2分）
因为M到AB的中点（0，1）的距离为2，
从而过M，A，B三点的圆的方程为x²+（y-1）²=4．
∵圆心坐标为（0，1），半径为2，∴圆与直线l：y=-1相切…（4分）
（2）证法一：设切点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），过抛物线上点A（x₁，y₁）的切线方程为(y-

y

1

)=k(x-x1)，代入x²=4y，整理得x²-4kx+4（kx₁-y₁）=0△=（4k）²-4×4（kx₁-y₁）=0，又因为x12=4y1，所以k=

x1

2

…（6分）
从而过抛物线上点A（x₁，y₁）的切线方程为y-

y

1

=

x1

2

(x-x1)即y=

x1

2

x-

x 2 1

4

又切线过点M（x₀，y₀），所以得y0=

x1

2

x0-

x 2 1

4

①即y0=

x1

2

x0-y1…（8分）
同理可得过点B（x₂，y₂）的切线为y=

x2

2

x-

x 2 2

4

，
又切线过点M（x₀，y₀），所以得y0=

x2

2

x0-

x 2 2

4

②…（10分）
即y0=

x2

2

x0-y2…（6分）
即点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）均满足y0=

x

2

x0-y即x₀x=2（y₀+y），故直线AB的方程为x₀x=2（y₀+y）…（12分）
又M（x₀，y₀）为直线l：y=-m（m＞0）上任意一点，故x₀x=2（y-m）对任意x₀成立，所以x=0，y=m，从而直线AB恒过定点（0，m）…（14分）
证法二：设过M（x₀，y₀）的抛物线的切线方程为y-

y

0

=k(x-x0)（k≠0），代入x²=4y，消去y，得x²-4kx-4（y₀-kx₀）=0△=（4k）²+4×4（y₀-kx₀）=0即：k²+x₀k+y₀=0…（6分）
从而k1=

-x0+ x 2 0 -4y0

2

，k2=

-x0- x 2 0 -4y0

2

此时x1=

2

k1

，x2=

2

k2

所以切点A，B的坐标分别为A(

2

k1

，

1

k12

)，B(

2

k2

，

1

k22

)…（8分）
因为kAB=

y1-y2

x1-x2

=

x1+x2

4

=

x0

2

，

x1+x2

2

=

2 k1 + 2 k2

2

=

k1+k2

k1k2

=x0，

y1+y2

2

=

1 k12 + 1 k22

2

=

(k1+k2)2-2k1k2

2(k1k2)2

=

x 2 0 -2y0

2

，
所以AB的中点坐标为(x0，

x 2 0 -2y0

2

)…（11分）
故直线AB的方程为y-

x 2 0 -2y0

2

=

x0

2

(x-x0)，即x₀x=2（y₀+y）…（12分）
又M（x₀，y₀）为直线l：y=-m（m＞0）上任意一点，故x₀x=2（y-m）对任意x₀成立，所以x=0，y=m，从而直线AB恒过定点（0，m）…（14分）
证法三：由已知得y=

x2

4

，求导得y=

x

2

，切点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），故过点A（x₁，y₁）的切线斜率为k=

x1

2

，从而切线方程为(y-

y

1

)=

x1

2

(x-x1)即y=

x1

2

x-

x 2 1

4

…（7分）
又切线过点M（x₀，y₀），所以得y0=

x1

2

x0-

x 2 1

4

①即y0=

x1

2

x0-y1…（8分）
同理可得过点B（x₂，y₂）的切线为y=

x2

2

x-

x 2 2

4

，
又切线过点M（x₀，y₀），所以得y0=

x2

2

x0-

x 2 2

4

②即y0=

x2

2

x0-y2…（10分）
即点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）均满足y0=

x

2

x0-y即x₀x=2（y₀+y），故直线AB的方程为x₀x=2（y₀+y）…（12分）
又M（x₀，y₀）为直线l：y=-m（m＞0）上任意一点，故x₀x=2（y-m）对任意x₀成立，所以x=0，y=m，从而直线AB恒过定点（0，m）…（14分）

点评：本题考查圆的方程，考查抛物线的切线，考查直线恒过定点，确定切线方程，及直线AB的方程是关键．