Question

（本题满分12分）

设二次函数，对任意实数，有恒成立；数列满足.

（1）求函数的解析式；

（2）试写出一个区间，使得当时，且数列是递增数列，并说明理由；

（3）已知，是否存在非零整数，使得对任意，都有

 恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由.

 

Answer 1

【答案】

解：（1）由恒成立等价于恒成立 ……1分

从而得：，化简得，从而得，

所以，                                             ………3分

（2）解：若数列是递增数列，则即：

  ………5分[ZXX又当时，，

所以有且，所以数列是递增数列。        …………7分

注：本题的区间也可以是、、、………，等无穷多个.

（3）由（2）知，从而；

，

即；                                         ………8分

令，则有且；

从而有，可得，所以数列是为首项，公比为的等比数列，         

从而得，即，

所以 ，                           ……………………10分

所以，所以，

所以，

.………………………11分

即，所以，恒成立

（1）   当为奇数时，即恒成立，当且仅当时，有最小值为。

（2）   当为偶数时，即恒成立，当且仅当时，有最大值为。

所以，对任意，有。又非零整数，…………………12分

 

【解析】略