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如图,已知抛物线C:y2=2px(p>0)上横坐标为4的点到焦点的距离为5.
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)设直线y=kx+b与抛物线C交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),且|y1-y2|=a(a为正常数).过弦AB的中点M作平行于x轴的直线交抛物线C于点D,连接AD、BD得到△ABD.
(i)求实数a,b,k满足的等量关系;
(ii)△ABD的面积是否为定值?若为定值,求出此定值;若不是定值,请说明理由.

【答案】分析:(Ⅰ)依抛物线的定义可知:4,可求p,进而可求抛物线方程
(Ⅱ)(i)联立直线与抛物线方程,消去x,根据方程的根与系数关系可求y1+y2,y1y2.然后结合|y1-y2|=a,可得a,b,k之间的关系
(ii)由(i)可求AB中点M,进而可求点D,代入三角形的面积公式,结合已知可证
解答:解:(Ⅰ)依题意:4,解得p=2.
∴抛物线方程为y2=4x.
(Ⅱ)(i)由方程组消去x得:ky2-4y+4b=0.(※)
依题意可知:k≠0.
由已知得y1+y2=,y1y2=
由|y1-y2|=a,得
依题意:,解得p=2.
∴抛物线方程为y2=4x.
(Ⅱ)(i)由方程组消去x得:ky2-4y+4b=0.(※)
依题意可知:k≠0.
由已知得y1+y2=,y1y2=
由|y1-y2|=a,得,即,整理得16-16kb=(ak)2
所以(ak)2=16(1-kb)
(ii)由(i)知AB中点M(),所以点D(),
依题意知
=
又因为方程(※)中判别式△=16-16kb>0,得1-kb>0.
所以,由(Ⅱ)可知1-kb=
所以
又a为常数,故△ABD的面积为定值.
点评:本题主要考查了利用抛物线的定义求解抛物线的方程,直线与曲线的相交关系的应用及方程的根与系数关系的应用,还考查了一定的逻辑推理与运算的能力
练习册系列答案
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OA
OB
=0
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TA
TB
=1
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