Question

已知函数．
（Ⅰ）当时，求f（x）在区间上的最值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

解：（Ⅰ）当时，，
∴．
∵f（x）的定义域为（0，+∞），∴由f'（x）=0得x=1．---------------------------（3分）
∴f（x）在区间上的最值只可能在取到，
而，
∴．---------------------------（6分）
（Ⅱ）．
①当a+1≤0，即a≤-1时，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）单调递减；-------------（7分）
②当a≥0时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）单调递增；----------------（8分）
③当-1＜a＜0时，由f'（x）＞0得，∴或（舍去）
∴f（x）在单调递增，在上单调递减；--------------------（10分）
综上，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）单调递增；
当-1＜a＜0时，f（x）在单调递增，在上单调递减．
当a≤-1时，f（x）在（0，+∞）单调递减；-----------------------（12分）
分析：（Ⅰ）确定f（x）的定义域，求导数，确定f（x）在区间上的最值只可能在取到，即可求得结论；
（Ⅱ）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，即可确定函数f（x）的单调性．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．