Question

【题目】已知函数f（x）=lnx﹣ ．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设g（x）=﹣x2+2bx﹣4，若对任意x1∈（0，2），x2∈[1，2]，不等式f（x1）≥g（x2） 恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=lnx﹣ 的定义域是（0，+∞）．

f′（x）= = ，

由x＞0及f′（x）＞0得1＜x＜3；由x＞0及f′（x）＜0得0＜x＜1或x＞3，

故函数f（x）的单调递增区间是（1，3）；单调递减区间是（0，1），（3，+∞）．

（2）解：由（1）知，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，3）上单调递增，

所以当x∈（0，2）时， ，

对任意x1∈（0，2），x2∈[1，2]，不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，

问题等价于﹣ ≥g（x）对任意x∈[1，2]恒成立，即 恒成立．

不等式可变为b ，

因为x∈[1，2]，所以 ，当且仅当 ，即x= 时取等号．

所以b ，

故实数b的取值范围是（ ]

【解析】（1）求f′（x），在函数定义域内利用导数与函数单调性关系解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可．（2）由题意不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，可转化为f（x）min≥g（x）max ， 或分离出参数后再求函数最值．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．