Question

18．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E，F，G分别为B₁C₁，CC₁，AC的中点．
（1）求证：EF∥平面A₁BG；
（2）若AA₁=AB=BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=1，求三棱锥G-A₁B₁B的体积．

Answer 1

分析 （1）在A₁C₁上取点M，使得C₁M=$\frac{1}{4}$A₁C₁，连结EM，FM，取A₁C₁的中点N，连结B₁N，NG，NC，GB．证明平面MEF∥平面A₁BG，从而得出EF∥平面A₁BG．
（2）三棱锥G-A₁B₁B的体积等于三棱柱ABG-A₁B₁N的体积减去三棱锥A₁-ABG和三棱锥G-A₁B₁N的体积．

解答 解：（1）在A₁C₁上取点M，使得C₁M=$\frac{1}{4}$A₁C₁，连结EM，FM，取A₁C₁的中点N，连结B₁N，NG，NC，GB．
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，∴B₁B∥NG，B₁B=NG，
∴四边形BGNB₁是平行四边形，∴B₁N∥BG，
∵M是C₁N的中点，E是B₁C₁的中点，∴ME∥BG，
∴ME∥BG，∵BG?平面A₁BG，ME?平面A₁BG，
∴ME∥平面A₁BG，同理可得：MF∥平面A₁BG，
又∵ME?平面MEF，MF?平面MEF，ME∩MF=M，
∴平面MEF∥平面A₁BG．∵EF?平面MEF，
∴EF∥平面A₁BG．
（2）∵AA₁=AB=BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=1，∴AC=$\sqrt{2}$，AB⊥BC，∴AG=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴BG=AG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴V${\;}_{棱锥{A}_{1}-ABG}$=V${\;}_{棱锥G-{A}_{1}{B}_{1}N}$=$\frac{1}{3}$V${\;}_{棱柱ABG-A{{\;}_{1}B}_{1}N}$．
∴V${\;}_{棱锥G-{A}_{1}{B}_{1}B}$=V${\;}_{棱柱ABG-A{{\;}_{1}B}_{1}N}$-V${\;}_{棱锥{A}_{1}-ABG}$-V${\;}_{棱锥G-{A}_{1}{B}_{1}N}$=$\frac{1}{3}$V${\;}_{棱柱ABG-A{{\;}_{1}B}_{1}N}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×1$=$\frac{1}{12}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，面面平行的性质，棱锥的体积计算，属于中档题．