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【题目】设函数.

1)当时,求函数的最大值;

2)令,其图象上存在一点,使此处切线的斜率,求实数的取值范围;

(3)当 时,方程有唯一实数解,求正数的值.

【答案】(1) (2) (3)

【解析】试题分析:(1)依题意确定的定义域,对求导,求出函数的单调性,即可求出函数的最大值;(2)表示出,根据其图象上存在一点,使此处切线的斜率可得,在上有解,即可求出实数的取值范围;(3)由,方程有唯一实数解,构造函数,求出的单调性,即可求出正数的值.

试题解析:(1)依题意, 的定义域为,当时,

,得,解得

,得,解得

,∴单调递増,在单调递减;所以的极大值为,此即为最大值

(2),则有,在上有解,

,∵,所以当时,

取得最小值,∴

(3)由,令

,∴上单调递增,而

∴在,即,在,即

单调递减,在单调递増,∴极小值,令,即时方程有唯一实数解.

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