Question

已知f（x）=ax³+x²+cx是定义在R上的函数，f（x）在[-1，0]和[4，5]上是减函数，在[0，2]上是增函数．
（I）求c的值；
（II）求a的取值范围；
（III）在函数f（x）的图象上是否存在一点M（x₀，y₀），使得曲线y=f（x）在点M处的切线的斜率为3，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（I）对函数f（x）=ax³+x²+cx求导数，得，f′（x）=3ax²+2x+c
∵f（x）在[-1，0]上是减函数，在[0，2]上是增函数
∴函数f（x）在x=0处有极小值，
∴f′（0）=0，即3a×0²+2×0+c=0
∴c=0
（II）∵f（x）=ax³+x²，∴f′（x）=3ax²+2x
令f′（x）=0，解得x1=0，x2=-

2

3a

∵f（x）在[0，2]上是增函数，在[4，5]上是减函数
即f′（x）在[0，2]上大于或等于零，在[4，5]上小于或等于零
∴x₂∈[2，4]
即

- 2 3a ≥2 - 2 3a ≤4

∴-6≤

1

a

≤-3
∴-

1

3

≤a≤-

1

6

（III）假设存在点M（x₀，y₀）使得曲线y=f（x）在点M处的切线的斜率为3，
则f′（x₀）=3，即3ax₀²+2x₀-3=0，其中△=4+36a
∵-

1

3

≤a≤-

1

6

∴-12≤36a≤-6
∴△＜0∴3ax₀²+2x₀-3=0无实数根
∴f′（x₀）=3不成立
∴不存在点M（x₀，y₀）使得曲线y=f（x）在点M处的切线的斜率为3．