Question

如图所示，平面EAD⊥平面ABCD，△ADE是等边三角形，ABCD是矩形，F是AB的中点，G是AD的中点，EC与平面ABCD成30°角
（1）求证：EG⊥平面ABCD；
（2）若AD=2，求二面角E-FC-G的度数；
（3）当AD的长是多少时，D点到平面EFC的距离为2？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知中，△ADE是等边三角形，G是AD的中点，结合等边三角形“三线合一”的性质，易得EG⊥AD，又由平面EAD⊥平面ABCD，由面面垂直的性质可得EG⊥平面ABCD；
（2）连接CG，则CG是EC在平面ABCD的射影，结合已知中EC与平面ABCD成30°角，得∠ECG=30°，解Rt△ECG，Rt△CDG，求出GF，FC，GC的长，易根据勾股定理得到，GF⊥FC，EF⊥FC，故∠EFG是二面角E-FC-G的平面角，解三角形EFG，即可求出二面角E-FC-G的度数．
（3）根据V_E-DFC=V_D-EFC，通过计算底面积，从而可求AD的长

解答：解：（1）证明：如图所示，∵△ADE是等边三角形，
∴EG⊥AD
又平面EAD平面ABCD且相交于AD，
∴EG⊥平面ABCD
（2）连接CG，则CG是EC在平面ABCD的射影
∴∠ECG是EC与平面ABCD所成的角，
∴∠ECG=30°
在Rt△ECG中：
∵AD=2，
∴EG=

3

，
∴CG=3
在Rt△CDG中：
∵DG=1，GC=3，
∴DC=2

2

则AF=BF=

2

，GF=

3

，FC=

6

∴GF²+FC²=GC²，
即GF⊥FC
∵GF是EF在平面AC内的射影，
∴EF⊥FC
∴∠EFG是二面角E-FC-G的平面角．
在Rt△EGF中，EG=GF=

3

∴∠EFG=45°
故所求二面角E-FC-G的度数为45°
（3）设AD=2a，则可得S△DFC=2

2

a2，S_△EFC=3a²
∵V_E-DFC=V_D-EFC
∴

1

3

×3a2×2=

1

3

×2

2

a2×

3

a
∴a=

6

2

∴AD=

6

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，二面角的平面角的求法，求二面角的平面角，关键是要找出这个角，将空间求角问题，转化为解三角形问题．