Question

在圆x²+y²-2x-6y=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为

10

2

．

Answer 1

分析：根据圆的标准方程求出圆心M的坐标和半径，最长的弦即圆的直径，故AC的长为2

10

，最短的弦BD和ME垂直，且经过点E，由弦长公式求出BD的值，再由ABCD的面积为

1

2

AC×BD 求出结果．

解答：解：圆x²+y²-2x-6y=0 即 （x-1）²+（y-3）²=10 表示以M（1，3）为圆心，以

10

为半径的圆．
由圆的弦的性质可得，最长的弦即圆的直径，AC的长为2

10

．
∵点E（0，1），∴ME=

1+4

=

5

．
弦长BD最短时，弦BD和ME垂直，且经过点E，此时，BD=2

MB2-ME2

=2

10-5

=2

5

．
故四边形ABCD的面积为

1

2

AC×BD=10

2

，
故答案为 10

2

．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，两点间的距离公式，弦长公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．