Question

1．（1）已知某圆圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．
（2）已知双曲线与椭圆$\frac{x^2}{16}$+$\frac{y^2}{49}$=1有公共的焦点，并且椭圆的离心率与双曲线的离心率之比为$\frac{3}{7}$，求双曲线的标准方程．

Answer 1

分析 （1）设圆的方程为（x-a）²+y²=25，由已知得a²+16=25，由此能求出该圆的标准方程．
（2）椭圆$\frac{x^2}{16}$+$\frac{y^2}{49}$=1的离心率e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{33}}{7}$，焦点坐标为${F}_{1}（-\sqrt{33}，0）$，${F}_{2}（\sqrt{33}，0）$，设双曲线的离心率为e′，则e′=$\frac{7}{3}e=\frac{7}{3}×\frac{\sqrt{33}}{7}=\frac{\sqrt{33}}{3}$，由此能求出双曲线的标准方程．

解答 解：（1）∵圆心在x轴上，半径为5，
∴设圆的方程为（x-a）²+y²=25，
∵圆截y轴所得线段长为8，
∴a²+16=25，解得a=±3，
∴该圆的标准方程为（x+3）²+y²=25或（x-3）²+y²=25．
（2）∵椭圆$\frac{x^2}{16}$+$\frac{y^2}{49}$=1，∴$a=\sqrt{49}$=7，b=$\sqrt{16}$=4，c=$\sqrt{49-16}$=$\sqrt{33}$，
∴e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{33}}{7}$，焦点坐标为${F}_{1}（-\sqrt{33}，0）$，${F}_{2}（\sqrt{33}，0）$，
设双曲线的离心率为e′，则$\frac{e}{{e}^{‘}}$=$\frac{3}{7}$，∴e′=$\frac{7}{3}e=\frac{7}{3}×\frac{\sqrt{33}}{7}=\frac{\sqrt{33}}{3}$，
设双曲线方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{'2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{'2}}$=1，
则${a}^{'}=3，{b}^{'}=\sqrt{33-9}$=2$\sqrt{6}$，
∴双曲线的标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{9}-\frac{{x}^{2}}{24}$=1．

点评 本题考查圆的方程、双曲线的标准方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆、双曲线的性质的合理运用．