Question

已知向量

m

=(2cosx，，2sinx)，

n

=(cosx，，

3

cosx)，函数f(x)=a

m

•

n

+b-a（a、b为常数且x∈R）．
（Ⅰ） 当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（Ⅱ） 是否存在非零整数a、b，使得当x∈[0，

π

2

]时，f（x）的值域为[2，8]．若存在，求出a、b的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）根据已知中向量

m

=(2cosx，2sinx)，

n

=(cosx，

3

cosx)，我们可求出 当a=1，b=2时函数的解析式，根据正弦型函数的性质，即可得到（x）的最小值；
（Ⅱ）由已知中向量

m

=(2cosx，2sinx)，

n

=(cosx，

3

cosx)，我们可以计算出f（x）的解析式，进而求出函数在区间[0，

π

2

]上的最值，进而根据f（x）的值域为[2，8]，构造关于a，b的方程，解方程即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）∵向量

m

=(2cosx，2sinx)，

n

=(cosx，

3

cosx)，
 当a=1，b=2时，
函数f(x)=

m

•

n

+1=2cos2x+2

3

sin x•cosx+1=2sin（2x+

π

6

）+2，
当2sin（2x+

π

6

）=-1时，f（x）取最小值0
（II）∵f(x)=a

m

•

n

+b-a=2asin（2x+

π

6

）+b
当x∈[0，

π

2

]时，
f（x）的最小值为-a+b，f（x）的最大值为2a+b，
若f（x）的值域为[2，8]．
则-a+b=2，且2a+b=8，
解得a=2，b=4．

点评：本题考查的知识点是三角函数的最值，正弦函数的值域，其中根据已知中向量

m

=(2cosx，2sinx)，

n

=(cosx，

3

cosx)，结合向量数量积公式，求出函数的解析式，是解答本题的关键．