Question

8．设抛物线y²=4x的焦点为F，则准线与x轴交于点C，经过点F的直线l交抛物线于A，B两点，若点B在以A，C为直径的圆上，则|AF|-|BF|=4．

Answer 1

分析 通过设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），设直线l方程为x=my+1并与抛物线方程联立，利用韦达定理可知y₁+y₂=4m、y₁y₂=-4，通过点B在以A，C为直径的圆上可知$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{FB}$=0，化简计算可知${{y}_{2}}^{2}$=4$\sqrt{5}$-8，进而可知x₂=$\sqrt{5}$-2、x₁=$\sqrt{5}$+2，计算即得结论．

解答 解：依题意，F（1，0），C（-1，0），且直线l的斜率不为0，
设直线l方程为：x=my+1，并与抛物线方程联立，
消去x，整理得：y²-4my-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，
∵点B在以A，C为直径的圆上，
∴$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{BA}$=0，即$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{FB}$=0，
∴${{x}_{2}}^{2}$-1+${{y}_{2}}^{2}$=0，即$\frac{1}{4}$${{y}_{2}}^{4}$+${{y}_{2}}^{2}$-1=0，
解得：${{y}_{2}}^{2}$=4$\sqrt{5}$-8或${{y}_{2}}^{2}$=-4$\sqrt{5}$-8（舍），
∴x₂=$\frac{1}{4}$${{y}_{2}}^{2}$=$\sqrt{5}$-2，
又∵y₁y₂=-4，
∴x₁=$\frac{1}{4}$${{y}_{1}}^{2}$=$\frac{1}{4}$•$\frac{16}{{{y}_{2}}^{2}}$=$\sqrt{5}$+2，
∴|AF|-|BF|=（x₁+1）-（x₂+1）
=x₁-x₂
=（$\sqrt{5}$+2）-（$\sqrt{5}$-2）
=4，
故答案为：4．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．