Question

9．已知x＞0，y＞0，且$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$=1，若2x+y≥m²+7m恒成立，则实数m的取值范围是[-8，1]．

Answer 1

分析 先把2x+y转化为（2x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$）展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据2x+y≥m²+7m恒成立求得m²+7m≤8，进而求得m的范围．

解答 解：∵$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$=1，
∴（2x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$）=4+$\frac{y}{x}$+$\frac{4x}{y}$≥4+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{4x}{y}}$=8，当且仅当x=2，y=4时取等号，
∵2x+y≥m²+7m恒成立，
∴m²+7m≤8，解得-8≤m≤1，
故答案为：[-8，1]．

点评 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．