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在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,底边AB上有且只有一点M使得平面D1DM⊥平面D1MC.
(1)求异面直线C1C与D1M的距离;
(2)求二面角M-D1C-D的正弦值.

解:(1)证明:过D作DH⊥D1M于H
∵平面D1DM⊥平面D1MC且平面D1DM∩平面D1MC=D1M
∴DH⊥平面D1MC
∴DH⊥MC
又∵MC⊥D1D
∴MC⊥平面D1DM
∴MC⊥DM
又∵满足条件的M只有一个
∴以CD为直径的圆必与AB相切,
切点为M,M为的AB中点

∴CD=2
∵MC⊥平面D1DM,
∴MC⊥D1M
又∵CC1⊥MC,所以MC为异面直线CC1与D1M的公垂线段
CM的长度为所求距离
(2)取CD中点E,连接ME,则ME⊥平面D1CD
过M作MF⊥D1C于F,连接EF,则EF⊥CD1
∴∠MFE为二面角的平面角
又∵ME=1,MF=
在RT△MEF中sin∠MFE=
分析:(1)根据面与面垂直得到线与面垂直,有DH⊥MC,满足条件的M只有一个,以CD为直径的圆必与AB相切,切点为M,M为的AB中点,得到MC为异面直线CC1与D1M的公垂线段.
(2)取CD中点E,连接ME,得到线面垂直,做出二面角的平面角,在直角三角形中,根据三角函数的定义,得到要求角的三角函数值.
点评:本题是一个立体几何的综合题目,在解题过程中注意异面直线之间的距离的证法和求法,这是本题的难点.
练习册系列答案
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在长方体ABCD-A'B'C'D'中,AB=
3
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3
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(2)二面角B-AC-B'的大小.(结果用反三角函数值表示)

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(Ⅰ)求证:平面ACC′A′⊥平面BDE;
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