Question

【题目】如图，在正方体ABCD – A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱BC，A1B1，B1C1的中点．

（1）求异面直线EF与DG所成角的余弦值；

（2）设二面角A—BD—G的大小为θ，求 |cosθ| 的值．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】试题分析：（1）建立空间直角坐标系，进而通过计算即可得解；

（2）计算得平面DBG和平面ABD的法向量n1和n2，通过计算cos＜n1，n2＞即可得解.

试题解析：

如图，以{，， }为正交基底建立坐标系D—xyz．

设正方体的边长为2，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，

B(2，2，0)，E(1，2，0)，F(2，1，2)，G(1，2，2)．

（1）因为＝(2，1，2)－(1，2，0)＝(1，－1，2)，

＝ (1，2，2)，

所以·＝1×1＋(－1)×2＋2×2＝3，

||＝＝，||＝3．

从而cos＜，＞＝＝＝，

即向量与的夹角的余弦为，

从而异面直线EF与DG所成角的余弦值为．

（2）＝(2，2，0)，＝ (1，2，2)．

设平面DBG的一个法向量为n1＝(x，y，z )．

由题意，得

取x＝2，可得y＝－2，z＝1．

所以n1＝(2，－2，1)．

又平面ABD的一个法向量n2＝＝(0，0，2)，

所以cos＜n1，n2＞＝＝＝．

因此 |cosθ|＝．