Question

（1）设抛物线y²=4x截直线y=2x+k所得的弦长为3

5

，求k的值．
（2）以本题（1）得到的弦为底边，以x轴上的点P为顶点做成三角形，当这三角形的面积为9时，求P的坐标．

Answer 1

分析：（1）设出交点坐标，联立直线和抛物线的方程

y2=4x y=2x+k

，整理，由韦达定理，算出（x₁-x₂）²，（y₁-y₂）²，再有两点间距离公式计算出弦长．求出k．
（2）设出P点坐标，由点p到直线的距离求出三角形的高，再由面积公式代入求解，即得．

解答：解：（1）设直线与抛物线的交点为P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）．
解方程组：

y2=4x y=2x+k

，得（2x+k）²=4x，
即4x²+4（k-1）x+k²=0，
故有x₁+x₂=1-k，x₁x₂=

k2

4

．
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂
=(1-k)2-4•

k2

4

=1-2k．
又因P₁，P₂在直线y=2x+k上，故
（y₁-y₂）²=4（x₁-x₂）²=4（1-2k）．
根据题设条件

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=3

5

，
即（1-2k）+4（1-2k）=45，解得：k=-4．

（2）设x轴上一点P的坐标为（a，0）又点P到直线P₁P₂的距离为h，则有h=

|2a-4|

5

．
依题意得△PP₁P₂的面积关系：9=

1

2

•3

5

•

|2a-4|

5

，即6=|2a-4|，
∴a=5，a=-1．

点评：“设而不求”仍是圆锥曲线问题的常用方法，在第一题的处理中，也可直接用弦长公式l_AB=

1+k2

|x₁-x₂|．