Question

已知命题A：函数f（x）=x²-4mx+4m²+2在区间[-1，3]上的最小值等于2，命题B：?x∈R，x+|x-m|＞1；命题C：{x|m≤x≤2m+1}⊆{x|x²≥1}．
（1）若A，B，C中有且只有一个真命题，试求实数m的取值范围；
（2）若A，B，C中有且只有一个假命题，试求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：根据二次函数取最值的条件，我们可以求出命题A为真命题时，参数m的取值范围；根据绝对值函数的图象和性质，我们可以求出命题B为真命题时，参数m的取值范围；根据集合间的包含关系，我们可以求出命题C为真命题时，参数m的取值范围；
（1）分别讨论若A真B，C假，B真A，C假和C真，A，B假时参数m的取值范围，综合讨论结果，可得答案；
（2）分别讨论若A，C真B假，B，C真A假和A，B真C假时参数m的取值范围，综合讨论结果，可得答案．

解答：解：若命题A：函数f（x）=x²-4mx+4m²+2在区间[-1，3]上的最小值等于2，为真命题
则-1≤2m≤3
即-

1

2

≤m≤

3

2

…（2分）
若命题B：：?x∈R，x+|x-m|＞1为真命题
则m＞1         …（5分）
若命题C：{x|m≤x≤2m+1}⊆{x|x²≥1}为真命题
则m＞2m+1或1≤m≤2m+1或m≤2m+1≤-1，即m＜-1或m≥1或m=-1
即m≥1或m≤-1         …（8分）
（1）若A真B，C假，则-

1

2

≤m＜1 …（9分）
若B真A，C假，则m不存在  …（10分）
若C真，A，B假，则m≤-1   …（11分）
实数m的取值范围是m≤-1 或-

1

2

≤m＜1      …（12分）
（2）若A假B，C真，则m＞

3

2

    …（13分）
若B假A，C真，则m=1；     …（14分）
若C假A，B真，则M不存在；   …（15分）
∴实数m的取值范围是m＞

3

2

或m=1．…（16分）

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，含绝对值函数的图象和性质及集合间包含关系，是集合，函数，简易逻辑的综合考查，稍有难度．