Question

已知椭圆C：的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数，直线与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切。
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点，设两直线的斜率分别为k₁,k₂,且k₁＋k₂＝2，证明：直线AB过定点(―1,―1)

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析

试题分析：（I）由等轴双曲线的离心率为，可得椭圆的离心率，因为直线，与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，利用点到直线的距离公式和直线与圆相切的性质可得，，再利用即可得出；（II）分直线AB的斜率不存在与存在两种情况讨论，①不存在时比较简单；②斜率存在时，设直线AB的方程为，由椭圆 与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系及斜率公式，再利用即可证明
试题解析：（Ⅰ）由题意得
，                                          2分
即，解得                        4分
故椭圆C的方程为                              5分
（Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，设A,则B，由k₁＋k₂＝2得
，得                           7分
当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y=kx+b（）,,

得，   9分

即
由，             11分
即
故直线AB过定点(―1,―1)                          13分