Question

20．已知数列{a_n}的前n项和S_n=a_n+n²-1，数列{b_n}满足：b₁+3b₂+5b₃+…+（2n-1）•b_n=（n-1）•3ⁿ⁺¹+3（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记T_n=$\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}$+$\frac{{a}_{2}}{{b}_{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{b}_{3}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$，求满足T_n＜$\frac{11}{6}$的n的取值集合．

Answer 1

分析 （1）由a_n=S_n-S_n-1，能求出a_n=2n+1．n≥2时，b₁+3b₂+5b₃+…+（2n-3）•b_n-1=（n-2）•3ⁿ+3，从而得到（2n-1）•b_n=（2n-1）•3ⁿ，由此能求出b_n=3ⁿ．
（2）由T_n=$\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}$+$\frac{{a}_{2}}{{b}_{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{b}_{3}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{3}{3}+\frac{5}{{3}^{2}}+\frac{7}{{3}^{3}}+…+\frac{2n+1}{{3}^{n}}$，利用错位相减法能求出满足T_n＜$\frac{11}{6}$的n的取值集合．

解答 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和S_n=a_n+n²-1，
∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（a_n+n²-1）-[a_n-1+（n-1）²-1]=a_n-a_n-1+2n-1，
∴a_n-1=2n-1，
∴a_n=2n+1．
∵数列{b_n}满足：b₁+3b₂+5b₃+…+（2n-1）•b_n=（n-1）•3ⁿ⁺¹+3（n∈N^*），
∴n≥2时，b₁+3b₂+5b₃+…+（2n-3）•b_n-1=（n-2）•3ⁿ+3，
两式相减，得：（2n-1）•b_n=（2n-1）•3ⁿ，
∴b_n=3ⁿ．
（2）T_n=$\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}$+$\frac{{a}_{2}}{{b}_{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{b}_{3}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{3}{3}+\frac{5}{{3}^{2}}+\frac{7}{{3}^{3}}+…+\frac{2n+1}{{3}^{n}}$，①
$\frac{1}{3}{T}_{n}$=$\frac{3}{{3}^{2}}+\frac{5}{{3}^{3}}+\frac{7}{{3}^{4}}+…+\frac{2n+1}{{3}^{n+1}}$，②
①-②，得：$\frac{2}{3}$T_n=1+2（$\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{3}^{3}}+\frac{1}{{3}^{4}}+…+\frac{1}{{3}^{n}}$）-$\frac{2n+1}{{3}^{n+1}}$
=1+2×$\frac{\frac{1}{9}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{2n+1}{{3}^{n+1}}$
=$\frac{4}{3}-\frac{1}{{3}^{n}}$-$\frac{2n+1}{{3}^{n+1}}$，
∴T_n=2-$\frac{n+2}{{3}^{n}}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．