Question

设A是同时符合以下性质的函数f（x）组成的集合：
①?x∈[0，+∞），都有f（x）∈（1，4]；②f（x）在[0，+∞）上是减函数．
（1）判断函数f1(x)=2-

x

和f2(x)=1+3•(

1

2

)x（x≥0）是否属于集合A，并简要说明理由；
（2）把（1）中你认为是集合A中的一个函数记为g（x），若不等式g（x）+g（x+2）≤k对任意的x≥0总成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对于函数f1(x)=2-

x

，根据基本初等函数的单调性即可判断在[0，+∞）上是减函数，其值域为（-∞，2]，根据题意可知，f₁（x）不在集合A中，对于f2(x)=1+3•(

1

2

)x（x≥0）可以确定其单调性和值域，判断其符合题意，故f₂（x）在集合A中；
（2）根据（1）的结论，可得g（x）=1+3•（

1

2

）^x，求出函数h（x）=g（x）+g（x+2），将不等式g（x）+g（x+2）≤k对任意的x≥0总成立，转化为h（x）的最大值，确定h（x）的单调性，从而求得其最大值，即可求得实数k的取值范围．

解答：解：（1）∵f1(x)=2-

x

，y=

x

在[0，+∞）上是单调递增函数，
∴f1(x)=2-

x

在[0，+∞）上是单调减函数，
∵

x

≥0，
∴2-

x

≤2，
∴f₁（x）∈（-∞，2]，
∵A是同时符合以下性质的函数f（x）组成的集合：①?x∈[0，+∞），都有f（x）∈（1，4]；②f（x）在[0，+∞）上是减函数，
∴f₁（x）不符合①，
∴f₁（x）不在集合A中；
∵x≥0时，0＜(

1

2

)x≤1，
∴1＜1+3•(

1

2

)x≤4，
∴f₂（x）∈（1，4]，
又y=（

1

2

）^x在[0，+∞）上是单调递减函数，
∴f2(x)=1+3•(

1

2

)x在[0，+∞）上是单调递减函数，
∵A是同时符合以下性质的函数f（x）组成的集合：①?x∈[0，+∞），都有f（x）∈（1，4]；②f（x）在[0，+∞）上是减函数，
∴f₂（x）同时符合①②，
∴f2(x)=1+3•(

1

2

)x在集合A中，
故f1(x)=2-

x

不在集合A中，f2(x)=1+3•(

1

2

)x在集合A中；
（2）由（1）可知，g（x）=1+3•（

1

2

）^x，
∴h（x）=g(x)+g(x+2)=[1+3•(

1

2

)x]+[1+3•(

1

2

)x+2]=2+

15

4

(

1

2

)x，
∵y=（

1

2

）^x在[0，+∞）上是单调递减函数，
∴h（x）在[0，+∞）上是单调递减函数，
∴当x=0时，h（x）取得最大值h（x）_max=h（0）=

23

4

，
∵g（x）+g（x+2）≤k对任意的x≥0总成立，即h（x）_max≤k，
∴k≥

23

4

，
故所求的实数k的取值范围是[

23

4

，+∞)．

点评：本题考查了函数恒成立问题，函数单调性的判断与证明．对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解．注意一般单调性的证明选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论．本题函数单调性的判断是运用了基本初等函数的单调性进行判断，要掌握常见的基本初等函数的单调性．属于中档题．