Question

【题目】已知A，B，C为锐角△ABC的内角， =（sinA，sinBsinC）， =（1，﹣2）， ⊥ ．
（1）tanB，tanBtanC，tanC能否构成等差数列？并证明你的结论；
（2）求tanAtanBtanC的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：依题意有sinA=2sinBsinC．

在△ABC中，A=π﹣B﹣C，

所以sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，

所以2sinBsinC=sinBcosC+cosBsinC．

因为△ABC为锐角三角形，所以cosB＞0，cosC＞0，

所以tanB+tanC=2tanBtanC，

所以tanB，tanBtanC，tanC成等差数列

（2）解：在锐角△ABC中，

tanA=tan（π﹣B﹣C）=﹣tan（B+C）=﹣ ，

即tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC，

由（1）知tanB+tanC=2tanBtanC，

于是tanAtanBtanC=tanA+2tanBtanC≥ ，

整理得tanAtanBtanC≥8，

当且仅当tanA=4时取等号，

故tanAtanBtanC的最小值为8

【解析】（1）依题意有sinA=2sinBsinC，从而2sinBsinC=sinBcosC+cosBsinC，再由cosB＞0，cosC＞0，能推导出tanB，tanBtanC，tanC成等差数列．（2）推导出tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC，从而tanAtanBtanC≥8，由此能求出tanAtanBtanC的最小值为8．