Question

17、如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点．
（1）求证：CD⊥PD；
（2）求证：EF∥平面PAD、

Answer 1

分析：本题是高考的重要内容，几乎年年考，次次有：（1）的关键是找出直角三角形，也就是找出图中的线线垂直．（2）的关键是找出平面PAD中可能与EF平行的直线．

解答：解：（1）证明：
∵PA⊥平面ABCD，而CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，又CD⊥AD，AD∩PA=A，
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD、
（2）取CD的中点G，连接EG、FG．
∵E、F分别是AB、PC的中点，
∴EG∥AD，FG∥PD，
∴平面EFG∥平面PAD，
又∵EF?平面EFG，
∴EF∥平面PAD．

点评：线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．
判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a∥α，b?α，a∥b?a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a?α?a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a?β，a∥α?a∥β）．