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如图,已知定点F(1,0),动点P在y轴上运动,过点P作PM⊥PF并交x轴于M点,延长MP到N,使|PN|=|PM|.
(1)求动点N的轨迹C的方程;
(2)直线l与动点N的轨迹C交于A、B两点,若=-4,且≤|AB|≤,求直线l的斜率的取值范围.

【答案】分析:(1)设出动点N,则M,P的坐标可表示出,利用PM⊥PF,kPMkPF=-1,求得x和y的关系式,即N的轨迹方程.
(2)设出直线l的方程,A,B的坐标,根据=-4,推断出x1x2+y1y2=-4进而求得y1y2的值,把直线与抛物线方程联立消去x求得y1y2的表达式,进而气的b和k的关系式,利用弦长公式表示出|AB|2,根据|AB|的范围,求得k的范围.
解答:解:(1)设动点N(x,y),则M(-x,0),P(0,)(x>0)
∵PM⊥PF,∴kPMkPF=-1,即,∴y2=4x(x>0)即为所求.
(2)设直线l方程为y=kx+b,l与抛物线交于点A(x1,y1)、B(x2,y2),
则由=-4,得x1x2+y1y2=-4,即+y1y2=-4,∴y1y2=-8,
ky2-4y+4b=0(其中k≠0),∴y1y2==-8,b=-2k,
当△=16-16kb=16(1+2k2)>0时,
|AB|2=(1+)(y2-y12=[(y1+y22-4(y1y2)]=+32)
由题意,得16×6+32)≤16×30
解得,≤k2≤1,≤k≤1或-1≤k≤-
即所求k的取值范围是[-1,-]∪[,1].
点评:本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

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(1)求动点N的轨迹C的方程;
(2)直线l与动点N的轨迹C交于A、B两点,若
OA
OB
=-4,且4
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≤|AB|≤4
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,求直线l的斜率的取值范围.

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(2011•潍坊二模)如图,已知定点F(-1,0),N(1,0),以线段FN为对角线作周长是4
2
的平行四边形MNEF.平面上的动点G满足|
GO
|=2(O为坐标原点)
(I)求点E、M所在曲线C1的方程及动点G的轨迹C2的方程;
(Ⅱ)已知过点F的直线l交曲线C1于点P、Q,交轨迹C2于点A、B,若|
AB
|∈(2
3
15
),求△NPQ内切圆的半径的取值范围.

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(1)求动点N的轨迹C的方程;
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