【题目】如图,在圆心角为,半径为的扇形铁皮上截取一块矩形材料,其中点为圆心,点在圆弧上,点在两半径上,现将此矩形铁皮卷成一个以为母线的圆柱形铁皮罐的侧面(不计剪裁和拼接损耗),设矩形的边长,圆柱形铁皮罐的容积为.
(1)求圆柱形铁皮罐的容积关于的函数解析式,并指出该函数的定义域;
(2)当为何值时,才使做出的圆柱形铁皮罐的容积最大?最大容积是多少? (圆柱体积公式:,为圆柱的底面枳,为圆柱的高)
【答案】(1);(2),.
【解析】分析:(1)先利用勾股定理可得OA,根据周长公式得半径,再根据圆柱体积公式求V(x),最后根据实际意义确定定义域,(2)先求导数,再求导函数零点,列表分析导函数符号变化规律,确定函数单调性,进而得函数最值.
详解:(1)连接OB,在Rt△OAB中,由AB=x,利用勾股定理可得OA=,
设圆柱底面半径为r,则=2πr,
即4=3600-,所以V(x)=π=π··x=,
即铁皮罐的容积为V(x)关于x的函数关系式为V(x)=,定义域为(0,60).
(2)由V ′(x)==0,x∈(0,60),得x=20.
列表如下:
x | (0,20) | 20 | (20,60) |
V ′(x) | + | 0 | - |
V(x) | ↗ | 极大值V(20) | ↘ |
所以当x=20时,V(x)有极大值,也是最大值为.
答:当x为20 cm时,做出的圆柱形铁皮罐的容积最大,最大容积是.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,过点且互相垂直的两条直线分别与圆交于点A,B,与圆交于点C,D.
(1) 若AB=,求CD的长;
(2)若直线斜率为2,求的面积;
(3) 若CD的中点为E,求△ABE面积的取值范围.
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【题目】选修4﹣1:平面几何 如图AB是⊙O的直径,弦BD,CA的延长线相交于点E,EF垂直BA的延长线于点F.
(I)求证:∠DEA=∠DFA;
(II)若∠EBA=30°,EF= ,EA=2AC,求AF的长.
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【题目】已知f(x)= ,g(x)=|x﹣2|,则下列结论正确的是( )
A.h(x)=f(x)+g(x)是偶函数
B.h(x)=f(x)?g(x)是奇函数
C.h(x)= 是偶函数
D.h(x)= 是奇函数
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【题目】已知函数f(x)满足 (其中a>0,a≠1)
(Ⅰ)求f(x)的表达式;
(Ⅱ)对于函数f(x),当x∈(﹣1,1)时,f(1﹣m)+f(1﹣m2)<0,求实数m的取值范围;
(Ⅲ)当x∈(﹣∞,2)时,f(x)﹣4的值为负数,求a的取值范围.
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【题目】下列说法正确的是( )
A. 命题“若x2=1,则x=1”的否命题是“若x2=1,则x≠1”
B. 若命题p:x0∈R,,则:x∈R,x2-2x-1<0
C. 命题“若x=y,则sin x=sin y”的逆否命题为真命题
D. “x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件
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【题目】如图,△ABC的外接圆O的直径为AB,CD⊥平面ABC,BE∥CD.
(1)求证:平面ADC⊥平面BCDE;
(2)试问在线段DE和BC上是否分别存在点M和F,使得平面OMF∥平面ACD?若存在,确定点M和点F的位置;若不存在,请说明理由.
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