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14.若等轴双曲线的顶点到渐近线的距离为$\sqrt{2}$,则该双曲线的焦点到渐近线的距离为(  )
A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$C.$\sqrt{2}$D.2

分析 利用等轴双曲线的顶点到渐近线的距离为$\sqrt{2}$,求出双曲线的方程,再求出该双曲线的焦点到渐近线的距离.

解答 解:不妨设双曲线方程为x2-y2=λ,
∵等轴双曲线的顶点到渐近线的距离为$\sqrt{2}$,
∴$\frac{\sqrt{λ}}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$,
∴λ=4,
∴双曲线的焦点为(±2$\sqrt{2}$,0),
∴该双曲线的焦点到渐近线的距离为$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=2.
故选:D.

点评 本题考查双曲线的方程与性质,考查学生的计算能力,属于中档题.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

4.(1)已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>0,b>0)和椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的2倍,求双曲线的方程.
(2)已知点P(6,8)是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)上一点,F1,F2为椭圆的两焦点,若$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0.试求椭圆的方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:填空题

5.下列说法:
①扇形的周长为8cm,面积为4cm2,则扇形的圆心角弧度数为1rad;
②函数f(x)=2cosx(sinx+cosx)的最大值为$\sqrt{2}$;
③若α是第三象限角,则$y=\frac{{|{sin\frac{α}{2}}|}}{{sin\frac{α}{2}}}+\frac{{|{cos\frac{α}{2}}|}}{{cos\frac{α}{2}}}$的值为0或-2;
④若sinα=sinβ则α与β的终边相同;
⑤函数$f(x)=\left\{\begin{array}{l}0,x为有理数\\ 1,x为无理数\end{array}\right.$为周期函数;
其中正确的是⑤(写出所有正确答案).

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

2.如图所示,AD∥BC∥EF,平面ADFE⊥平面BCFE,AE⊥EF,BE⊥EF,AD=AE=BE=2,EF=3,BC=4,G为BC的中点.
(1)求证:BD⊥EG;
(2)求二面角D-BF-C的余弦值.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

9.计算
(1)$\frac{2lg2+lg3}{{\frac{1}{2}lg36-lg\frac{1}{2}}}+{log_4}({8^7}×{2^5})$
(2)$\frac{{\sqrt{1-2sin{{2530}°}cos{{1430}°}}}}{{cos{{1790}°}-\sqrt{1-{{cos}^2}{{170}°}}}}$.

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科目:高中数学 来源: 题型:填空题

19.若关于x的方程3-x=a2有负实数根,则实数a的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞).

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

6.(1)设f(θ)=sinθ+cosθ,0≤θ≤$\frac{π}{2}$,求f(θ)的值域.
(2)已知不等式$\sqrt{2}(2a+3)cos(θ-\frac{π}{4})+\frac{6}{sinθ+cosθ}$<3a+6+4sinθcosθ对于0≤θ≤$\frac{π}{2}$恒成立,求实数a的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

3.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0.ω>0)在其一个周期内,的图象上有一个最高点($\frac{π}{12}$,3)和一个最低点($\frac{7π}{12}$,-3).
(1)说明此函数图象是由f(x)=sinx的图象经过怎样的变换得到的;
(2)作出这个函数在一个周期内的简图;
(3)当x∈[-$\frac{π}{4}$,$\frac{π}{6}$],求f(x)的最值.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

4.已知动点P(x,y)到定点F(0,1)的距离与动点P(x,y)到定直线l:y=3的距离之和为4,若动点P的轨迹为曲线C.垂直于x轴的直线与曲线C交于相异两点A、B.
(1)求曲线C的方程;
(2)判断△ABF的周长是否为定值.

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