Question

如图， PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，点E在边AB上，F为PD的中点，AF∥平面PCE，二面角P-CD-B为45⁰，AD=2，CD=3.

（1）试确定E点位置； （2）求直线AF到平面PCE的距离.

Answer 1

（1）过AF、AB作平面β交PC于点G，连FG、EG，

∵四边形ABCD是矩形，点E在边AB上，∴EA∥CD，
∴EA∥平面PCD， ∴EA∥FG∥CD， 
∵AF∥平面PCE，∴AF∥EG， 则四边形AEGF是平行四边形
又∵F为PD的中点，∴EA=FG=CD，
则点E是边AB的中点. 
（2）延长CE、DA交于点H，作AM⊥HC，垂足为点M；连接AM、PM，作AN ⊥PM，垂足为点N.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥HC，则HC⊥平面PAM，
∴HC⊥AN，则AN ⊥平面PEC；又∵AF∥平面PCE，∴线段AN的长是直线AF到平面PCE的距离. ∵二面角P-CD-B为45⁰，可证得∠PAD就是二面角P-CD-B的平面角，
∴∠PAD=45⁰.     在Rt△PAD中，∵AD=2，∴PA="2."
又在Rt△HCD中，∵EA =CD，CD=3，∴AH= AD=2.
∵AM⊥HC，∴Rt△HCD∽Rt△HAM，可求得AM=.
在Rt△PAM中，∵S_△PAM=PA•AM=AN•PM，∴AN=.   
解法二：以点A为原点，分别以AB、AD、AP所在直线为X、Y、Z轴，建立空间直角坐标系（如图所示），由已知可得A（0，0，0），B（3，0，0），D（0，2，0），C（3，2，0），
∵二面角P-CD-B为45⁰，可证得∠PAD就是二面角P-CD-B的平面角，∴∠PAD=45⁰.
在Rt△PAD中， AD=2，∴PA=2，则P（0，0，2）
又∵F为PD的中点，∴F（0，1，1）
则=（0，1，1），=（3，2，-2） 
∵点E在边AB上，∴设E（λ，0，0），
则=（3-λ，2，0）
设平面PEC的法向量=（x，y，z），由•=0得（3-λ）x+2y=0，
由•=0得3x+2y-2z=0，解得y=，z=；
令x=2，得=（2，λ-3，λ）     
（1）∵AF∥平面PCE，∴•=0，即λ-3+λ=0，∴λ=
则点E是边AB的中点.                                
（2）∵AF∥平面PCE，∴直线AF到平面PCE的距离等于点A到平面PCE的距离d，则d===

略