Question

4．已知正数a，b满足2a²+b²=3，求a$\sqrt{{b}^{2}+1}$的最大值．

Answer 1

分析 由题意和基本不等式可得a$\sqrt{{b}^{2}+1}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\sqrt{2}$a•$\sqrt{{b}^{2}+1}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\frac{（\sqrt{2}a）^{2}+（\sqrt{{b}^{2}+1}）^{2}}{2}$，代值计算注意等号成立的条件可得．

解答 解：∵正数a，b满足2a²+b²=3，
∴a$\sqrt{{b}^{2}+1}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\sqrt{2}$a•$\sqrt{{b}^{2}+1}$
≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\frac{（\sqrt{2}a）^{2}+（\sqrt{{b}^{2}+1}）^{2}}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{4}$（2a²+b²+1）=$\sqrt{2}$
当且仅当$\sqrt{2}$a=$\sqrt{{b}^{2}+1}$即a=b=1时取等号．
∴a$\sqrt{{b}^{2}+1}$的最大值为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查基本不等式求最值，凑出可以基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题．