Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=

3

，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC，AB分别相切于点C，M，与BC交于点N），将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体，则图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积为

5 3 π

27

．

Answer 1

分析：△ABC中解直角三角形可得AC=1，AB=2AC=2．连结OM，可得OM⊥AB，利用OB=2OM结合题意算出半圆的半径为r等于

3

3

，再利用圆锥的体积公式和球的体积公式加以计算，即可得到所求旋转体的体积．

解答：解：连结OM，则OM⊥AB
∵∠ABC=30°，BC=

3

，
∴AC=BCtan30°=1，AB=2AC=2
设OM=r，则OB=2r
∵OB=

3

-r，∴2r=

3

-r，解之得r=

3

3

因此所得旋转体的体积为
V=V_圆锥-V_球=

1

3

π×AC²×BC-

4π

3

r3=

1

3

π×1²×

3

-

4π

3

×(

3

3

)3=

5 3 π

27

故答案为：

5 3 π

27

点评：本题给出特殊图形，求阴影部分旋转所得几何体的体积．着重考查了解直角三角形、圆的切线性质和圆锥、球的体积公式等知识，属于中档题．