Question

已知过抛物线C：y²=4x的焦点作直线与C分别相交于A、B两点，点M在抛物线的准线上．命题甲：直线BM与x轴平行；命题乙：直线AM过坐标原点．那么，命题甲是命题乙成立的（　　）

• A、充分不必要条件
• B、必要不充分条件
• C、充要条件
• D、既不充分也不必要条件

Answer 1

分析：设过焦点的直线方程为x=my+1与抛物线方程联立，表示出A、B两点坐标的关系，再利用斜率研究是否A，B，C三点共线 或BM与x轴是否平行．

解答：解：设过焦点F（1，0）的直线方程为x=my+1 代入抛物线方程，消去x，并整理得，y²-4my-4=0，设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），则y₁y₂=-4，继而两边平方，16=16x₁x₂，∴x₁x₂=1
   若直线BM与x轴平行，则B（-1，y₂），此时k_OA=

y1

x1

=

4

y1

=

4

- 4 y2

=y₂=k_OM，k，o，m三点共线，即直线AM过坐标原点．
  反之，若直线AM过坐标原点，则直线AM的方程为 y=

y1

x1

x，，与抛物线准线方程x=-1联立得B的纵坐标为y=-

y1

x1

=-

4

y1

=y₂，所以直线BM与x轴平行
 综上所述甲是乙成立的充要条件
 故选C

点评：本题考查抛物线焦点弦的性质，直线和抛物线位置关系，及充要条件的判断．本题中设过焦点F（1，0）的直线方程为x=my+1，可以避免对斜率是否存在的讨论．