Question

（本小题满分13分）如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线L在y轴上的截距为m(m≠0)，L交椭圆于A、B两个不同点。

（1）求椭圆的方程；

（2）求m的取值范围；

（3）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形。

Answer 1

（1）设椭圆方程为,则.

∴椭圆方程为                   ……………………4分

（2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m,     又K_OM=,

，联立方程有 

，    ∵直线l与椭圆交于A．B两个不同点，

        …………8分

（3）设直线MA，MB的斜率分别为k₁，k₂，只需证明k₁+k₂=0即可

设，

则   由

而

故直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形. ……………………13分

解析:

同答案