Question

已知函数f（x）=asinx+bcosx，a≠0，x∈R，f（x）的最大值是2，且在x=

π

6

处的切线方程与直线x-y=0平行．
（1）求a、b的值；
（2）先将f（x）的图象上每点的横坐标缩小为原来的

1

2

，纵坐标不变，再将其向右平移

π

6

个单位得到函数g（x）的图象，已知g（a+

π

4

）=

13

10

，a∈（

π

6

，

π

2

），求cos2a的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）首先根据已知条件求出

a2+b2

=2，进一步利用导数求出a和b的另一个关系，进一步求出结果．
（2）根据（1）的结果求出f(x)=2sin(x+

π

6

)，然后根据图象的变换求出g（x）=2sin(2x-

π

6

)，然后根据角的恒等变换2α=（2α+

π

3

）-

π

3

，进一步利用变换求的结果．

解答： 解：（1）函数f（x）=asinx+bcosx，a≠0，x∈R，f（x）的最大值是2，
则：

a2+b2

=2
由于在x=

π

6

处的切线方程与直线x-y=0平行．
则：f′（x）=acosx-bsinx
f′(

π

6

)=acos

π

6

-bsin

π

6

=1
所以：

a2+b2 =2 acos π 6 -bsin π 6 =1

解得：

a= 3 b=1

（2）由（1）得：f(x)=2sin(x+

π

6

)
先将f（x）的图象上每点的横坐标缩小为原来的

1

2

，纵坐标不变，再将其向右平移

π

6

个单位，
得到函数g（x）=2sin(2x-

π

6

)
由于：g（a+

π

4

）=

13

10

，a∈（

π

6

，

π

2

），
解得：sin（2α+

π

3

）=

5

13

且2α+

π

3

∈(

2π

3

，

4π

3

)
则：cos（2α+

π

3

）=-

12

13

所以：cos2α=cos[（2α+

π

3

）-

π

3

]=cos（2α+

π

3

）cos

π

3

+sin（2α+

π

3

）sin

π

3

=

5 3 -12

26

点评：本题考查的知识点：三角函数的最值，利用导数求函数的斜率，正弦型函数的图象的变换，角的变换，三角函数的值．