Question

已知函数，且函数f（x）的最小正周期为π．
（1）若，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，把所得到的图象再向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间上的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用三角函数的降次公式进行化简，得f（x）=2sin（2ωx+），根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期的公式，计算出ω的值，得到函数的表达式，最后根据函数函数y=Asin（ωx+φ）的单调区间的结论，可以求得函数f（x）的单调递减区间；
（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的规律，得到变换后函数y=g（x）的解析式是：g（x）=2sin（4x+），然后根据函数y=Asin（ωx+φ）的单调性的结论，可得函数g（x）在区间上的值域，从而得到y=g（x）在区间上的最小值．
解答：解：（1）∵
∴利用三角函数的降次公式，得f（x）=sin（2ωx）+cos（2ωx）=2sin（2ωx+）
∵函数f（x）的最小正周期为T==π
∴2ω=2，可得函数f（x）的解析式为：y=2sin（2x+）
令＜2x+＜，得+kπ＜x＜+kπ，其中k是整数，
∵，
∴取k=0，得x∈
所以函数f（x）的单调递减区间是；
（2）函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，
所得函数解析式为：y=2sin（4x+）
再把所得到的图象再向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，
∴g（x）=2sin[4（x+）+]=2sin（4x+）
∵函数y=g（x）定义在区间上，
∴4x+∈[，]⇒sin≤sin（4x+）≤sin
即-≤sin（4x+）≤
∴函数y=g（x）的值域为[-，1]，函数的最小值为-．
点评：本题以一个特殊的三角函数为例加以研究，着重考查了三角函数中的恒等变换、函数y=Asin（ωx+φ）的图象和性质和三角函数的最值等知识点，属于中档题．