Question

设x，y满足条件

3x-y-6≤0 x-y+2≥0 x≥0 y≥0.

若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，则

2

a

+

3

b

的最小值为（　　）

• A、25
• B、19
• C、13
• D、5

Answer 1

分析：先根据条件画出可行域，设z=ax+by，再利用几何意义求最值，将最大值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=ax+by，过可行域内的点（4，6）时取得最大值，从而得到一个关于a，b的等式，最后利用基本不等式求最小值即可．

解答：解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，
当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4，6）时，
目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大2，
即2a+3b=1，
而  (

2

a

+

3

b

)

2a+3b

1

=13+6(

b

a

+

a

b

)≥25．
故选A．

点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用、简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．本题要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值．