Question

如图：在多面体EF-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，△EAD为正三角形，且平面EAD平面ABCD，EF∥AB, AB=2EF=2AD=4，.

（Ⅰ）求证：BFAD；
（Ⅱ）求直线BD与平面BCF所成角的大小．

Answer 1

（Ⅰ）先证平面EGH从而得到BFAD （Ⅱ）

试题分析：（Ⅰ）设AB的中点为H，连接EH，因为AB=2EF，且EF∥AB，所以四边形EHBF是平行四边形，取AD的中点G，正△EAD，则，连接GH，在△AGH中，AH=2AG=2，.故，即，所以平面EGH，所以，又因为BF∥EH，所以BFAD
（Ⅱ）由（Ⅰ）BFAD，在平行四边形ABCD中，BC∥AD，所以BC⊥BF；又GH⊥AD， BD∥GH ，所以BD ⊥AD，而BC∥AD，故BC⊥BD，所以BC⊥平面DFB，BC平面BCF，所以平面BCF⊥平面DFB，所以点D在平面BCF上的射影P点在BF上，所以∠FBD就是直线BD与平面BCF所成的角，在△BFD中， BF=HE=，又BC⊥平面DFB，所以，平面FBD⊥面ABCD，故F点在平面ABCD上的射影K在BD上，且FK=EG=，所以，故求直线BD与平面BCF所成角是．
点评：本题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力、推理论证能力．