Question

已知点P是圆C：x²+y²=1外一点，设k₁，k₂分别是过点P的圆C两条切线的斜率．
（1）若点P坐标为（2，2），求k₁•k₂的值；
（2）若k₁•k₂=-λ（λ≠-1，0），求点P的轨迹M的方程，并指出曲线M所在圆锥曲线的类型．

Answer 1

分析：（1）由题意设出直线方程，由圆心到直线的距离等于半径列出关于斜率的方程，由韦达定理求出k₁•k₂的值；
（2）设出点P的坐标及切线方程，由圆心到直线的距离等于半径列出关于斜率的方程，由韦达定理用P点的坐标表示k₁•k₂，由题意列出关系式，注意取值；再根据圆锥曲线的定义和λ的范围讨论曲线M的形状．

解答：解：（1）设过点P的切线斜率为k，方程为y-2=k（x-2），即kx-y-2k+2=0；
∵其与圆相切，则

|2k-2|

k2+1

=1，化简得3k²-8k+3=0，
∴k₁•k₂=1．
（2）设点P坐标为（x₀，y₀），过点P的切线斜率为k，
则方程为y-y₀=k（x-x₀），即kx-y-2k+2=0，
∵其与圆相切，∴

|kx0-y0|

k2+ 1

=1，化简得（x₀²-1）k²-2x₀y₀+（y₀²-1）=0，
∵k₁，k₂存在，
则x₀≠1且x₀≠-1，△=（2x₀y₀）²-4（x₀²-1）（y₀²-1）=4（x₀²+y₀²）-4＞0，
∵k₁，k₂是方程的两个根，
∴k₁•k₂=

y02-1

x02-1

=-λ，化简得λx₀²+y₀²=λ+1．
即所求的曲线M的方程为：λx²+y²=λ+1（x≠±1）；
若λ∈（-∞，-1）时，所在圆锥曲线M是焦点在x轴上的双曲线；
若λ∈（-1，0）时，所在圆锥曲线M是焦点在y轴上的双曲线；
若λ∈（0，1），M所在圆锥曲线M是焦点在x轴上的椭圆；
若λ=1时，M所在曲线M是圆；
若λ∈（1，+∞）时，所在圆锥曲线M是焦点在y轴上的椭圆．

点评：本题考查了直线与圆相切时的性质，求轨迹方程的方法：代入法；结合参数的范围及圆锥曲线的定义判断轨迹的具体形状，考查知识全面，注重对定义的理解；此题容易出错的求轨迹方程范围确定．