Question

已知f（x）是定义在R上的函数，且f（0）=9，对任意x∈R，两不等式f（x+4）≥f（x）+4与f（x+1）≤f（x）+1都成立，若g（x）=2[f（x）-x]，则g（2012）=

18

．

Answer 1

分析：由题设条件，可根据题设中的两个不等式来限定f（2012）的取值范围，从而确定其值

解答：解：∵f（x+4）≥f（x）+4
又∵f（0）=9
∴f（2012）≥f（2008）+4≥f（2004）+8≥…≥f（0）+2012=2021
∵f（x+1）≤f（x）+1成立
∴f（2012）≤f（2011）+1≤f（2010）+2≤…≤f（0）+2012=2021
∴f（2012）=2021
∵g（x）=2[f（x）-x]
∴g（2012）=2[f（2012）-2012]=18
故答案为：18

点评：本题考查抽象函数及其应用，解题的关键是根据题设中的两个不等式得出f（2012）的取值范围，根据其范围判断出函数值．本题比较抽象，下手角度很特殊，用到了归纳法的思想，利用归纳推理发现规律在数学解题中经常用到．