【题目】已知函数
(1)若函数在处有极值为10,求的值;
(2)对任意,在区间单调增,求的最小值;
(3)若,且过点能作的三条切线,求的取值范围.
【答案】(1) (2) (3)
【解析】
(1)根据列方程组,解方程组求得的值.(2)依题意得对,当恒成立,构造函数,利用一次函数的单调性求得.再构造函数,根据二次函数的对称轴得,由此求得的最小值.(3)当时,,设出切点的坐标,利用导数求得切线的斜率列方程并化简,构造函数记,根据过点,能作的三条切线可知有三个零点,利用的导数求得的极大值和极小值,由此列不等式组,解不等式组求得的取值范围.
解:(1),依题意:
①,②
由①②解得:,或;
经检验当时无极值点,
当时函数在处有极小值,故,
(2)对,当恒成立
记,
∴
又设,
当时,
,∴的最小值为,
(3):当时,,
设切点为,则切线斜率为,
∴,
记,
过点能作三条切线等价于有三个零点
正 | 负 | 正 | |
增 | 减 | 增 |
令,即,
∴.
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【题目】已知函数,,若函数有三个不同的零点,,(其中),则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】如图:
,,作出函数图象如图所示
,,作出函数图象如图所示
,由有三个不同的零点
,如图
令
得
为满足有三个零点,如图可得
,
点睛:本题考查了函数零点问题,先由导数求出两个函数的单调性,继而画出函数图像,再由函数的零点个数确定参量取值范围,将问题转化为函数的两根问题来求解,本题需要化归转化,函数的思想,零点问题等较为综合,有很大难度。
【题型】填空题
【结束】
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【题目】已知等比数列的前项和为,且满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足,求数列的前项和.
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【题目】某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图4①,②,③,④为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形.
(1)求出f(5)的值;
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”,归纳出f(n+1)与f(n)之间的关系式,并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式;
(3)求的值.
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【题目】已知向量a=(3sinα,cosα),b=(2sinα,5sinα-4cosα),α∈,且a⊥b.
(1)求tanα的值;
(2)求cos的值.
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【题目】为了估计某校某次数学考试的情况,现从该校参加考试的600名学生中随机抽出60名学生,其数学成绩(百分制)均在内,将这些成绩分成六组…,得到如图所示的部分频率分布直方图.
(1)求抽出的60名学生中数学成绩在内的人数;
(2)若规定成绩不小于85分为优秀,则根据频率分布直方图,估计该校参加考试的学生数学成绩为优秀的人数;
(3)试估计抽出的60名学生的数学成绩的中位数.
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【题目】近年来,雾霾日趋严重,雾霾的工作、生活受到了严重的影响,如何改善空气质量已成为当今的热点问题,某空气净化器制造厂,决定投入生产某型号的空气净化器,根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律,每生产该型号空气净化器(百台),其总成本为(万元),其中固定成本为12万元,并且每生产1百台的生产成本为10万元(总成本=固定成本+生产成本),销售收入(万元)满足,假定该产品销售平衡(即生产的产品都能卖掉),根据上述统计规律,请完成下列问题:
(1)求利润函数的解析式(利润=销售收入-总成本);
(2)工厂生产多少百台产品时,可使利润最多?
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