Question

（2012•莆田模拟）如图，边长为3（百米）的正方形ABCD是一个观光区的平面示意图，中间叶形阴影部分MN是一片人工湖，它的左下方边缘曲线段MN为函数y=

2

x

(1≤x≤2)的图象．为了便于游客观光，拟在观光区内铺设一条穿越该区域的直路l（宽度不计），其与人工湖左下方曲线段MN相切（切点记为P），并把该区域分为两部分．现直路l左下部分区域规划为花圃，记点P到边AD距离为t，f（t）表示花圃的面积．
（1）求直路l所在的直线与两坐标轴的交点坐标；
（2）求面积f（t）的解析式；
（3）请你制定一个铺设方案，使得花圃面积最大，并求出最大值．

Answer 1

分析：（1）求导函数，确定过点P的切线方程，即可求得直线与两坐标轴的交点坐标；
（2）分类讨论：①当

2t≤3 4 t ≤3 1≤t≤2

，即

4

3

≤t≤

3

2

时，切线左下方的区域为一直角三角形；②当

2t＞3 4 t ＞3 1≤t≤2

，即

3

2

＜t≤2时，切线左下方的区域为一直角梯形；③当

2t≤3 4 t ＞3 1≤t≤2

，即1≤t＜

4

3

时，切线左下方的区域为一直角梯形，从而可得面积f（t）的解析式；
（3）求出分段函数的最值，即可得到花圃面积最大值．

解答：解：（1）求导函数可得y′=-

2

x2

∴过点P的切线方程为y-

2

t

=-

2

t2

(x-t)，即y=-

2

t2

x+

4

t

令x=0可得y=

4

t

，令y=0可得x=2t
∴切线与x轴交点坐标为（2t，0），与y轴交点坐标为（0，

4

t

）
（2）①当

2t≤3 4 t ≤3 1≤t≤2

，即

4

3

≤t≤

3

2

时，切线左下方的区域为一直角三角形
∴f（t）=

1

2

×2t×

4

t

=4；
②当

2t＞3 4 t ＞3 1≤t≤2

，即

3

2

＜t≤2时，切线左下方的区域为一直角梯形
∴f（t）=

1

2

(

4

t

+

4t-6

t2

)×3=

12t-9

t2

；
③当

2t≤3 4 t ＞3 1≤t≤2

，即1≤t＜

4

3

时，切线左下方的区域为一直角梯形
∴f（t）=

1

2

(

4t-3t2

2

+2t)×3=6t-

9

4

t2；
综上，f（t）=

6t- 9 4 t2，1≤t＜ 4 3 4， 4 3 ≤t≤ 3 2 12t-9 t2 ， 3 2 ＜t≤2

；
（3）当1≤t＜

4

3

时，f（t）=6t-

9

4

t2=-

9

4

(t-

4

3

)2+4＜4；
当

3

2

＜t≤2时，f（t）=

12t-9

t2

=-9(

1

t

-

2

3

)2+4＜4；
当

4

3

≤t≤

3

2

时，f（t）=4是常数；
综上，当

4

3

≤t≤

3

2

时，花圃面积最大，最大值为4．

点评：本题考查导数的几何意义，考查函数解析式的确定，考查分段函数的最值，正确分类是关键．