Question

（2013•南充三模）已知集合M={f（x）|f²（x）-f²（y）=f（x+y）•f（x-y），x，y∈R}，有下列命题
①若f₁（x）=

1，x≥0 -1，x＜0

则f₁（x）∈M；
②若f₂（x）=2x，则f₂（x）∈M；
③若f₃（x）∈M，则y=f₃（x）的图象关于原点对称；
④若f₄（x）∈M则对于任意不等的实数x₁，x₂，总有

f4(x1)-f4(x2)

x1-x2

＜0成立．
其中所有正确命题的序号是

②③

．

Answer 1

分析：①②可验证时否符合集合的公共属性；③证明是奇函数④可用特例来否定是减函数．

解答：解：①当f₁（x）=

1，x≥0 -1，x＜0

时可计算f²（x）-f²（y）与f（x+y）•f（x-y）不恒等．
②当f（x）=2x时，f²（x）-f²（y）=f（x+y）•f（x-y）成立．
③令x=y=0，得f（0）=0
令x=0，则由f²（x）-f²（y）=f（x+y）•f（x-y）得：
f（y）•f（-y）=-f²（y）
所以f（x）是奇函数，其图象关于原点对称．
④如函数f（x）满足条件：f²（x）-f²（y）=f（x+y）•f（x-y），但在定义域上是增函数
故只有②③正确
故答案为：②③

点评：本题主要考查元素与集合的关系及函数奇偶性、单调性的判断．另外在解客观题时可用特殊法，提高解题效率．