Question

函数y=f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使得|f（x）|≥M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“圆锥托底型”函数．
（1）判断函数f（x）=2x，g（x）=x³是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由．
（2）若f（x）=x²+1是“圆锥托底型”函数，求出M的最大值．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用“圆锥托底型”函数的定义即可判断出；
（2）由于f（x）=x²+1是“圆锥托底型”函数，故存在M＞0，使得|f（x）|=|x²+1|≥M|x|对于任意实数恒成立．x≠0时，M≤|x+

1

x

|=|x|+

1

|x|

，利用基本不等式的性质即可得出．对x=0时直接验证即可．

解答： 解：（1）函数f（x）=2x．∵|2x|=2|x|≥2|x|，即对于一切实数x使得|f（x）|≥2|x|成立，
∴函数f（x）=2x是“圆锥托底型”函数．
对于g（x）=x³，如果存在M＞0满足|x³|≥M|x|，而当x=

M 2

时，由|

M 2

|3≥M|

M 2

|，
∴

M

2

≥M，得M≤0，矛盾，
∴g（x）=x³不是“圆锥托底型”函数．

（2）∵f（x）=x²+1是“圆锥托底型”函数，故存在M＞0，使得|f（x）|=|x²+1|≥M|x|对于任意实数恒成立．
∴x≠0时，M≤|x+

1

x

|=|x|+

1

|x|

，此时当x=±1时，|x|+

1

|x|

取得最小值2，
∴M≤2．而当x=0时，也成立．
∴M的最大值等于2．

点评：本题考查了新定义、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．