Question

设A为双曲线

x2

16

-

y2

9

=1右支上一点，F为该双曲线的右焦点，连AF交双曲线于B，过B作直线BC垂直于双曲线的右准线，垂足为C，求证：直线AC恒过定点．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由于研究直线恒过定点，求出AC的方程，令y=0，求出x可得（x与直线AB斜率k无关），可证直线AC恒过定点就可解决．

解答： 证明：由双曲线的方程可得a=4，b=3，c=5，右焦点 F（5，0 ），右准线为x=

16

5

，
设直线AB：x=my+5，与双曲线方程

x2

16

-

y2

9

=1联立，可得（9m²-16）y²+90my+81=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=-

90m

9m2-16

，y₁y₂=

81

9m2-16

用两点式求出直线AC的方程，y-y₂=

y2-y1

16 5 -x1

（x-

16

5

）
令y=0，可得x=

- 16 5 y2+y2x1

y2-y1

+

16

5

=

- 16 5 y1+y2(my1+5)

y2-y1

=

369m 16-9m2 - 41 5 y1

90m 16-9m2 -2y1

=

41

10

，
∴直线AC过定点（

41

10

，0）．

点评：本题考查直线恒过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．